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中国图象图形学报小波分形混合图象编码蠢马争鸣中山大学电子系倍息处理实验室，广州510275研充现状和发展前景进行了尽可能全面和详细的评巧。文中介绍了小波图象编码经过1年研充，主要算法经基本成熟，并受到些正在酝酿之中的图象编码国际标准的青睐，而分形图象编码尚处于学术研充阶段，并指出小波分形混合图象编码是分形图象编码从学术研充走向实际应用的出路之，中图法分类号：TN919.81文献标识码：A小波图象编码和分形图象编码是二种不同的图象编码方法。其中，小波图象编码是把图象分解成不同空间方向和不同分辨率的子带图象，人们可抖根据需要，对不同子带图象采用不同的量化策略来进行编码而分形图象编码则适用于自相似性较强的图象。可惜的是，般自然图象的自相似性并不强，但是，经过小波变换后的图象，其相同方向但不同分辨率的子带图象却具有较强的相似性。因此，人们可利用这种相似性，结合分形图象编码的方法来进行编码。大幅度地提高图象编码的压缩比。因此，小波分形混合图象编码成为今后发展趋势，1小波图象缩编码由于小波变换是种介于空间域和频率域的分析方法，因而非常适用于信号分析。1989年，allet又提出了信号的多分辨率分析理论1口山ResolutionAnalysis，RASfiltff思想的提出更极大地促进了小波变换在信号分析中的应用。而31扭《提出的零树小波编码方法则是小波图象编码研究的个里程碑。
1.1图象的小波分解和重建13化1提出的快速塔式变换算法[1]为小波图象基金巧目：广东省自然科学基金项目％0033，963037编码技术的发展起到了奠基性的作用。所谓塔式变换算法，就是将幅图象经过二维小波变换分解为系列尺度频率方向、空间局部变化的子带Uubband，也称子图象。allat二维塔式快速小波变换的分解和重建示意图如下：祝巧其中：表示每两行中取出行表示每两列中取出列所，饰分别为低通和带通滤波器广片00其中示两行中插人行表示每两列中巧人列带困象。类似地可对子图象/王已再次分解，抖此类推可得到图象的多级小波分解，得到不同分辨率的子带图象，平低通连直低通子图象，王好表示水平低通库直带通的子图象，甘么化分别表示水平带通甚直低通和水平带通甚直带通的子图象下标表不不同1，句《分别为低通和带通滤波器后，可得到4幅子带图象图1：如/化王1幻/化1￡4/1化和沁/化化。它们分别表示在尺度2上的水平低通堪直低通子图象水平带通库直低通子图象水平低通垂直带通子图象和水平带通垂直带通子图象。而达4幅子带图象经过小波反变换后，可抖无失真地恢复出原图象/化王2.
利用上述的小波分解算法可对子图象雌点燃分您邮蜡加帖箭头所指为同空间方向图象经过小波变换后能获得很好的空间频率多分辨率表示，小波变换的些主要特性如下：不仅保持了原图象空间特性，而且能很好地提取出图象的高频信息，在低频处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性；小波分量具有方向选择性，分为水平、垂直和斜方向，这些特性都和人的视觉特性相吻合；◎能量主要集中在低频子图象，各层的低通直分量相等，各带通分量均为零；低通模糊子图象具有很强的相关性，7平子图象在水平方向相关系数大，而垂直方向小，垂直子图象在水平方向相关系数小而垂直方向大，斜方向子图象在水平和垂直方向相关系数都小。
由于上述的这种独特的空间姻率特性，故小波变换在图象分解中非常具有吸引力，而且在小波分解后的低通模糊子图象和其他高频子带图象中，小波系数的压缩构成了小波变换编码的基础[朱习。
12基于小波变换的图象编码方法虽然小波图象压缩编码技术也属于经典的图象编技述品11变换崭厘小腠考换具育率分析特性、时域局部分析特性和尺度自相似性等，因而使得小波变换图象压缩编码成为种非常有效的图象压缩编码方案。虽然运用小波变换进行图象压缩编码的方案有多种多样，但其主要均是利用小波变换后的系数的分布特性来得到不同的方案。
传统的小波变换编码方法有小波变换和标量量化结合的方法、小波变换和矢量量化结合的方法抖及结合小波系数的空间特性的编码方法等[9].但这些方法大多数只利用了多分辨率子带图象所具有的不同频率通道和能量的分布特性，而没有考虑多分辨率子带图象中的空间局部特性，特别是不同尺度空间上空间局部小波系数所具有的相似特性，因此编码效果有限，即根据同方向、不同分辨率子带图象间的相似性，用所谓零树来表示某些处于同方向但不同分辨率子带图象上的小波系数，并取得了较好的编码效果。有些学者认为，3如0的零树概念是小波图象编码研究的个里程碑，我们亦有同感，在我们的王作中也借鉴了5片3扫的零树思想，1.3图象编码中小波基的选择利用小波变换对图象进行压缩编码时，不同种类小波基的选择…对图象的压缩效果具有重要的意义。随着小波理论应用领域的扩展，为各种应用目的而构造的小波基不断出现，已构造的小波主要有样条小波正交小波、双正交小波等，近年来又出现了矢量小波[1]，由于样条小波相应滤波器的抽头数太多，导致变换时运算量大和重建边界误差的程序累积，通常不用于图象的压缩编码，又由于它在图象编码中广泛使用a化t的快速算法，其相应的QF魄波器结构的抽头数不能太多，否则计算量大，且边界误差会影响图象的质量，所通常采用紧支集的小波如正交小波和双正交小波来进行图象编码但由于紧支正交小波不具有对称性，导致其对应的小波滤波器不具有线性相位，而且在处理边界数据时，由于图象两端内容的不同，将使反变换重建图象时，产生所谓的振玲现象，因此，在使用具有线性相位的小波滤波器时，可利用对称扩展的方法来处理边界数据，避免上述问题。为了解决正交性和对称性的矛盾，枯片6口61等人引入了双正交小波。在使用双正交小波时，由于非正交性的影响非常轻微麻从仍适用于allat的快速变换算法。
2分形图象压缩编码样定义分形的：其组成部分与整体抖某种方式相似的形体叫做分形。8167*早将分形的概念引入到图象压缩编码领域1，但其编码过程需要人工干预，且非常耗时；1989年化9山11提出局部迭代函数系统的概念，实现了分块的自动分形图象编码算法，使分形图象编码取得了突破性进展，成为后人研巧和扩展的起点。2.1基本的分形图象编解码方法分形编码技术是种不同于抖往基于信源编码理论的编码方法，其数学基础是基于块的迭代收缩变换巧163〔0.11.8￡：11巾6 11.3.8￡1.11的分形理论，其相关的概念、定理主要有不动点定理，仿射变换，迭代函数系统15凸6[1化13扣0州601，吸引子定理，拼贴定理§6孔6016等，这些概念定理的详细情况可参见文献[化[18].
化9山提出将迭代函数系统的子映射定义域限制在图象的个子块上巧尔为局部迭代函数系统LIFS，并在此基础上提出了基于分块的自动分形图象编码系统，其基本编解码过程如下171：把原图象/分割为互不重叠的化峭6块通常尺寸大于化86块，并确定对比度比例因子对称旋转因子么化及亮度平移值。，满足其中，必表示对图象块完成如7轴对称轴对称、化0°旋转、90°旋转等变换[16]，表示凸块的收缩变换收缩到和化6±央大小相同。通过搜索就可得到变换化护必，其中和表示块的位置。
我们用上面的方法实现了基本的分形编码过程，实验结果如表1所示，实验采用256级灰度、大小为25g2象素的Lena图象。表1基本分形压缩编码的结果实验平台为，11压缩倍数从表中可抖看到，基本的分形压缩编码方法是非常耗时的。
王2分形图象编码的发展现状上述分形编码方法仅仅是个很基本的系统，因而在很多方面都有改进的潜力。当前分形编码的研究工作主要集中在图象分割、块分类搜索算法和其它变换方法相结合抖及分形应用于视频编码等方面，其发展现状如下：在图象分割方面种好的分割方案应使分割后的区域具有*大可能的相似性，同时为了在保持图象细节和压缩比方面得到平衡，分割应该是自适应的。目前比较常用的方法有四分树分割和1分割法等化].
块分类般要求通过块分类使匹配搜索仅在同类中进行，从而加快编码速度。13巧山0是根据视觉几何特性将相似块分为66块、《1肖6块和山。30肖6块13类。化1等则提出根据块的亮度和亮度变化来对图象块和相似块进行分类1迄种方法比131山0的方法更为成功。还有学者提出了将图象块和相似块进行小波变换后，再根据小波系数的分布特性来分类的方法11.
Bar出el等人提出的FT方法I23就是将图象块频谱的主要部分用分形变换来近似，其它的频谱系数矢量量化的方法相结合124相于编码而将分形和小波相结合的编码方法则是近年来图象编码界的大5虽然长期抖来分形编码通常针对的都是单色静止图象准随着研究的深入，经有很多学者对彩色图象的分形编码和分形应用于视频编码也做了相应的研究2.
2.3分形图象编码的特点基于分块的分形编码技术是种利用块间自相似性来减少图象冗余度的新型编码技术，它具有抖下的独特优势：1分形图象压缩既考虑局部与局部之间的相关性，又考虑局部与整体之间的相关性，因此它适合于自相似或自仿射的图象压缩，有很广的适应范围。
尽管分形编码具有诸多优点，但由于算法本身的特性，使得编码过程计算量巨大耗费时间很长，因而实时性差。
3小波和分形混合图象编码算法的研究现状经过多级小波变换，幅图象或图象块被分解为系列尺度频率方向、空间局部变化的子带80化3山。由于小波变换能获得很好的空间率多分辨率表示，而且在低频处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性，因此符合视觉特性，能量也主要集中在低频子图象。而且，同方向不同分辨率的子带间具有相似性，而分形的本质特征也恰好就是自相似性，这就给利用两者进行混合图象编码创造了条件。近年来很多的研巧工作就是围绕分形图象编码中，如何充分利用小波变换所具有的这些特点来展开的。
3.1基于图象块小波分解特性的快速分形图象编码用变换编码的塍益哮盏领滕滕也施血3咄统的盆形圈象编码方，韦咕丐//濡唔毙配块需要进行大量计算，从而使编码时间过长，而利用经过小波分解后，图象块所具有的独特空间邓率特性，可抖构造较好的分类和搜索方法，因而大大加快了分形编码的速度。
玉1.1基于图象块小波分解的块分类方法在对图象块进行小波分解时，次小波分解可得到4个子频带，它们分别表示亮度分量水平边缘分量垂直边缘分量和对角边缘分量。其中，对亮度分量子频带还可抖进行多次分解，直到每子带只有个小波系数而不能继续分解为止。例如：对个来4的图象块进行两级小波分解，共产生7个子带图4中用粗线隔开，其中，二次小波分解后的3个高频子带都只有个小波系数图中小波域的12小沮变换空巧4X4块小没巧块分类的分形编码方法。由于人类的视觉生理和也、理特点，决定了人类对图象边缘信息极其敏感，因此可抖用图象的边缘来作为块分类的依据，而小波分解正好为此提供了王具，同时小波变换使能量集中于少数的小波系数，这样可用比较少的系数来进行块分类。例如文献[32斤就是利用图象块小波变换后，表示不同边缘的小波系数来分类，其加速效果比传统的空域四叉树方法更好。同时，由于在这种块分类方法中结合了人眼的视觉特性，因此虽然*佳匹配块在均方误差意义下不是*佳，且客观上使恢复图象的没下降了，但恢复图象的视觉效果仍然很好。
3.1.2基于图象块小波分解后能量分布特性的快速搜索算法在上面提到的方法中，是利用图象块经过小波变换后不同边缘分量的小波系数，来对图象块进行分类，从而达到加速分形编码的目的。而从本文前面有关小波变换的叙述中可抖知道，图象块经过小波变换后，各频带的数据量和能量分布不均匀，即通常是低频子带数据少，能量大而高频子带数据多，能量小1厢此盛形编晋时知堪盈替恐用他些籍寂献化船邮4陪屈低省塍直在进行空域分形编码时，是利用仿射变换来描述两幅图象之间具有的相似性，即建立Doa块和Range块间的收缩映射。在文献[33]，[34]中，证明了如果两幅图象存在种线性关系，那么在图象经过小波变换后，除了个象素仍然保持线性关系外，其它的对应象素都简化为只保留个比例关系，从而将空域上的SE准则转变为对小波域中各个子频带的能量比较。
在文献[33]中，提出了基于上述原理的分形加速算法，即首先对子图象块进行金字塔曲31变换；然后，从低频段开始，依次累加误差，并与预先设定的阀值比较，若大于阀值，则结束匹配。由于各频带的数据量和能量分布不均匀，许多搜索过程可抖提前结束。同时只需要用对比度比例因子来估计误差，因而仅对搜索成功的块才计算亮度平移值。这样可大大缩短分形编码所需要的时间。文献中所提供的实验结果显示：用普通微机对512512大小的Lena象编码时，在恢复图象的峰值信噪比PVi达到29.姐3的情况下，编码过程只需要3.88，这样的速度经可抖满足大部分图象应用时，对编码过程的时间要求。
义2基于小波变换域的分形图象编码方法传统的空域分形编码方法是利用迭代函数系统1巧来抽取自然图象中存在的自相似性。在小波变换被引入图象编码领域后，许多学者都注意到，图象经过小波变换后，同方向不同分辨率的子带图象之间存在分形意义下的自相似性27351同时，在同分辨率不同方向子带图象中，其具有相同空间位置的小波系数之间尚存在较强的相关性128.因此，将分形编码方法应用于小波变换域的子带图象编码将很有前景，当前很多学者的研究工作也由此展开，3.么1基于图象小波分解的分形预测编码方法团031山等人提出了种很有代表性的基于小波变换的分形预测图象编码算法127即用变换域低分辨率的子带图象来预测##分辨率的子带图象，预测时，采用与分形编码方法类似的仿射变换，但并不需要定是收缩映射。同时解码时不需要迭代，而且可W直接估计均方误差。英国学者Levy和Wilson也发表过类似的研究结果Py.
这类分形预测编码方法的基本思想简述如下：对图象进行多级小波分解，抖得到不同方向和不同分辨率的各个子带图象，如图5所示。
如上国中王1、王化化1和好化采用无失真或失真较少的图象编码方法来编码。
从本质上来说，基于图象小波分解的分形预测编码方法是把空域的分形编码方法应用于小波域子带图象的编码，但由于没有个严格的收敛过程，故它还不是传统意义上的分形编码方法，而其侧重点则在于针对自然图象自相似性不强的特点，通过小波变换产生子带图象间的相似性，然后抖类似分形的编码方法对具有相似性的相邻子带进行预测编码。
玉2.2离散分形心户波变换了在曲ar小波基的基础上，传统空域中的分形变换帖加1了13胎￡101网抖导出个很简单的分解后小波系数的映射关系，这时，空域中的图象块和等价于小波域内的小波子树和相应块灰度均值的组合。这就是所谓的离散分形小波变换DFWT多学者的工作都是围绕这方面来展开首先抖4级小波分解为例，来介绍小波子树的构造过程如图6所示。
定义较低分辨率上的子带的小波系数为父代系数，而抖与其相邻的离级分辨率的子带中，具有相同倾向和相同空间位置的组小波系数为子代系数，除了*低分辨率和*高分辨率的子带外，泣种关系在所有分辨率的子带中上下延伸，而且每棵小波树的根部由不同方向同分辨率的3个根节点构成。这里，小波子树的结构与零树的系数组织方式非常类似，但两者的区别在于：小波子树不仅可抖不考虑*低分辨率中的1子带，而且小波子树可从任何分辨率的频带开始构造。
在空域的分形编码中，经常采用对子块去均值后做仿射变换的方法，而且在化31小波基的基础上，空域中去均值后的子块就等价于小波域内对应位置的小波子树心心现抖去均值后子块仿射变换的3个组成部分为例，所得到的对应小波域内小波子树的变换如下：3寸子块中的象素进行邻域平均并抽样，相当于将子块作了次2~陆31.小波变换后，只保留低频子带，而把其他吉个高频子带都去掉。其对于相应的小波子树来说，就相当于把小波子2对称旋转变换5小波子树可看作旱由空域子块经多级小波分解构成，因此子块的对称变换就对应于相应小波子树所有分辨率的子带作相应对称变换而旋转变换由于水平和垂直分量的换位，因此当小波子树所有子带变换后，各个分辨率上的垂直和水平子带系数则互换巧灰度变换由于子块的均值为化因而偏移因子也为0，所抖灰度变换只包括尺度变换因子而且小波子树中也没有直流分量，因此变换形式相同只有尺度变换。
如上所述，在HaaI.小波基的基础上，空域中的分形变换等价于小波域内的小波子树量化过程。这样来，我们就可抖将传统的空域分形编码问题转化到小波域内来解决，从而有利于充分利用小波变换的各种特性。
由于3波基是不连续的，因此在小波系数量化编码时，会造成恢复图象中类似块效应的灰度变化不连续现象。很多学者研巧了采用平滑的小波基条件下的离散分形斗、波变换12832的方法，因为在平滑小波基基础上的分形、波变换比31.小波基具有更多的优点，主要表现在：几何变换时：邻域平均和抽样更类似于滤波的过程；小波子树不再简单对应于空域中互不相交的子块，而是综合了相邻子块对小波系数的贡献类似于空域中可重叠比1昭6块编码的情况，这样有利于消除恢复图象中的块效应。
玉2.3基于离散分形的皮变换的编码方法在离散分形斗波变换的基础上，Davis提出了。小波子树自量化方法8出贴山11￡OofJGiDi3证11.6681284，即将传统空域内的分形压缩编码转化为小波域内小波子树的自量化编码，从而将传统的分形压缩归入到了小波编码的研究范畴。现将其基本的编码过程及特征简单介绍如下如图7：1*低分辨率上的4个子带图象系数采用无失真或少失真的方法进行编码；口分别构造小波子树於哺巧中表示小波子树从第级开始，按分形编码的习惯说法，通常我们分别称之为Range子树和化ain子树图7中的巧哺从；对于每个傥昭6子树姑1，寻找匹配子树￡。匹配参数即为相应化6子树的编码结果包括匹配子树的位置采用的几何变换和对称旋转变换等；解码时，先恢复单独编码的*低分辨率子带图象，然后由描11自《子树编码结果逐级外推各级分辨率的子带图象，如上所述，小波子树/和可被看作为传统分形编码中的，11自6块和0013块，其大小分别为tk2巧2k2空域子块的均值量化过程可抖看作是对应小波域*粗分辨率上子带系数的量化，这样就将空域中的基于子块分割的分形方法转变为小波域内小波子树的自量化编码过程。这种用小波子树自量化编码方法进行的编码，在解码过程中，可用下面的定理来保证由已知的粗分辨率小波系数外推细分辨率小波系数过程的收敛性128321.
定理金字塔型小波分解的次数为，如果已知第级分辨率的小波系数，那么，由山，7外推乃1片，7的迭代过程将在《1步内收敛化呼刊站溢言拄造编意思1传统的分形编码算法中，对尺度因子通常要限定，抖保证迭代过程的收敛，可是，有时尽管及11也可抖保证收敛祖数学上并不艮好地解释；同时用传统的分形压缩方法进行编码，在解码时尚无法具体确定迭代次数。但由上述定理可抖知道，小波域的小波子树量化解码过程，可在有限步内收敛，因此不再需要强制尺度因子。这样空域中的收敛性问题在小波域内就很容易地解决了。
在离散分形小波变换的基础上，很多学者提出了小波子树编码方法的各种改进方案：分割的变长小波子树的分形编码方案：它是根据小波子树编码时的具体误差情况，自适应地调整小波子树的大小，再分配不同的比特给不同复杂程度的小波子树，并成功地利用了不同分辨率小波系数之间的相关性，因此在高倍率压缩的同时，能保持较高质量的恢复图象。
系列二维的分形斗波变换过程，它和传统的3八变换相比，其编码算法中是分别处理水平、垂直和对角线的四分树，虽然该样表面看来，加了编码的消耗，但是在匹配准确性和低频能量保持等方面能得到更好的效果。
3.3小波和分形混合算法的进步研究方向基于分形和小波混合编码的有关研究工作仍然处于起步阶段，目前的些研究结果已经显示出其编码效果比传统的空域分形压缩方法要好很多，但仍然有很多方面可进步研究充分挖掘其潜力，她步用分形集合的几何相似性或统计相似性来表示小波分解域内子带间的相似特征；2对不同小波基分解后频带的特性和差别加抖研究，挖掘出适合于小波分形泥合编码的小波基等；巧将传统空域分形编码方法中些行之有效的思想应用于分形_]、波的混合编码，例如些好的分类方法和快速搜索算法；4广泛集合些目前发展已经相对完善的技术的优势如子带编拽矢量量化和神经网络技术等，充分利用信号处理的研究成果为图象编码领域引辟具化愚贼盈吝射变]的柳盈6曲占巧站强如曲按耗3若方向和分辨率子带的处理策略。分形和非分形部分的划分准则等加朗采入研究。
另外，目前有关研究工作主要还是集中在静止的灰度图象方面，而针对彩色图象和应用于视频等的分形斗、波混合编码方法研究，也应该成为新的研究热点，目前经有些学者开展了相关的研究工4结论传统的分形编码方法虽然具有独特的优势，但却存在诸如编码时间长等缺点，而零树编码为代表，基于小波变换的编码方法已经被证明具有良好的压缩效果。由于分形和小波的混合图象编码方法能充分发挥小波和分形编码方法的优点，弥补相互的不足，因此应该成为图象压缩的个重要研究方向，目前分形和小波混合编码方法的研究王作已经取得了定的进展，但和成熟的小波编码算法。如零树编码相比，其压缩效果还不能完全与之抗衡，很多方面都有待改善：例如编码复杂度相对较高，解码不够迅速，同时其压缩比和恢复图象的主客观质量都有待进步的提局。
化6王磊，戚飞虎。基于双正交小波的快速矢量量化算法上海交通巧春玲，陈义宽，马常楼。图象编码时小波基的选择。中国图象山32张颖。静止和运动图象压缩新方法研究分形。小波及其源合编码膊±论文。广州：华南理工大学，199节33张桌，陈刚，金切丈。基于金字塔正交小波分解的快速分形图象谢慎，马争鸣。基于小波分解的分形预测图象编码中国图象图38王毅刚，金[文。在小波分解下的分形块方法图象编码中国图39王大凯，魏海。小波分析应用于迭代分形和统计预测分形相结合的图象编码方法。电子学报，1998，26化鹤飞，陶然，周思永等。小波分形混合国象压缩编码进展。
子科技导报，199810：4 1974年生，北京邮电大学学±，现为中山大学通信与信息系统专业硕±研巧生，研究方向为多媒体数据处理与传输。
1957年生，华南理工大学学壬、硕±，清华大学博±，现为中山大学电子系副教授，主要学术兴趣为小波分析、分形几何和人工神经元网疥。
